Projeto da disciplina de Eletromagnetismo

Alunos:

Kennedy Edmilson Cunha Melo kecm@cin.ufpe.br

Rafael dos Reis de Labio rrl3@cin.ufpe.br

Aplicação do Método dos Momentos para determinar a distribuição superficial de carga nas placas abaixo

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Pontos centrais de cada elemento (condição de contorno pela divisão do lado maior em N segmentos, em que N é par):

Pontos dados por: $ (x, y, z) = (i \cdot \Delta - \frac{\Delta}{2}, j \cdot \Delta - \frac{\Delta}{2}, k \cdot d) $ onde $ \Delta = \frac{L}{N} $ , $ k = 0, 1 \,$ ; $\, 1 \leq i \leq N\,$ e $\, 1 \leq j \leq N \,$ para $ i \leq \frac{N}{2} \,\, e \,\, j\leq \frac{N}{2}.\,\,$ já para $i \geq \frac{N}{2} \,\, e \,\, j\geq \frac{N}{2}$ Os pontos centrais são considerados nulos

Elementos da matriz de impedância [Z]:

Os elementos dessa matriz são da forma $ Z_{mn} $ (onde: $ 1 \leq m \leq \frac{3N^{2}}{2} $ e $ 1 \leq n \leq \frac{3N^{2}}{2} $), e aqui temos dois casos:

Se $ m = n $:

$ Z_{mn} = \frac{\Delta}{\pi \epsilon_{0}}ln(1 + \sqrt{2}) $

Se $ m \neq n $, podemos aproximar o valor da impedância como se toda a carga estivesse concentrada no centro:

$ Z_{mn} \approx \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{\Delta^{2}}{\sqrt{(x_{m} - x_{n})^{2} + (y_{m} - y_{n})^{2} + (z_{m} - z_{n})^{2}}} $

Elementos da matriz de tensão [V]:

$ V_{m} = 0, 0 \leq m \leq \frac{3N^{2}}{4}\, \, $ ou $\, \, V_{m} = V_{0}\,, \,\frac{3N^{2}}{4} < m \leq \frac{3N^{2}}{2}\,\,$e nos pontos os quais a placa existe, obedecendo seu formato em L

Segunda questão

Terceira questão

Com o aumento do número de segmentos (N), a carga tende a se concentrar na borda ("no canto") da placa

Quarta questão

Capacitância pode ser aproximada da seguinte forma:

$ C = \frac{Q}{V} $, onde $ V = V_{0} $ e $ Q = \Delta^{2} \cdot \sum_{i = N^{2}}^{2N^{2}} a_{i} $

O valor analítico pode ser obtido pela expressão abaixo:

$ C = \epsilon_{0} \frac{Área}{Distância} = \epsilon_{0} \frac{L^{2}}{d} $

O objetivo é o erro (diferença entre as capacitâncias do analítico e computacional) ser próximo de 0.

Analisando o gráfico, é possível observar a convergência da capacitância com o valor analítico aproximado (esperado)